للتوضيح
مجموعة مضاعفات العدد 1 = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... }
مجموعة مضاعفات العدد2 = { 0 ، 2 ، 4 ، 6 ، ... }
مجموعة مضاعفات العدد 4 = { 0 ، 4 ، 8 ، 12 ، ...}
مجموعة مضاعفات العدد 6 = { 0 ، 6 ، 12 ، 18،..}
مجموعة مضاعفات العدد 10 = { 0 ، 10 20، 30 ، ..}
وعلى هذا الأساس يكون الحل كالتالى
بيان ع = { (1،1) ، (1،2) ، ( 1،4) ، (1،6) ، (1،10) ، (2،2) ، (2،4) ، (2،6) ، ( 2،10) ، (4،4) ، (6،6) ، (10،10) }
وهذا يخالف كتاب دليل المعلم فقد حلها على أنها ( ضعف ) وليست ( مضاعف ) وهذا خطأ
فالواحد من مضاعفات الواحد وال2 من مضاعفات ال2 وال4 من مضاعفات ال4 وهكذا
إذا كانت ع علاقة على ط ( مجموعة الأعداد الطبيعية )
حيث ع = { (أ ، ب) : 4أ + ب <أويساوى 12 ، ب تنتمى إلى ط }
فاكتب بيان ع ثم مثلها بمخطط سهمى .
حل آخر
ملحوظة : يمكن إكمال الحل كالتالى
بما أن الشكل أ جـ د ب مستطيل
إذن ق(<ب) = 90 درجة
إذاً أ د قطر فى الدائرة
إذا أ ، م ، د على استقامة واحدة
أ مضاعف ب إذا كانت أ تقبل القسمة على ب ، أ تنتمى إلى ط
للتوضيح
مجموعة مضاعفات العدد 1 = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... }
مجموعة مضاعفات العدد2 = { 0 ، 2 ، 4 ، 6 ، ... }
مجموعة مضاعفات العدد 4 = { 0 ، 4 ، 8 ، 12 ، ...}
مجموعة مضاعفات العدد 6 = { 0 ، 6 ، 12 ، 18،..}
مجموعة مضاعفات العدد 10 = { 0 ، 10 20، 30 ، ..}
مجموعة مضاعفات العدد هى مجموعة الأعداد الطبيعية التى تقبل القسمة على هذا العدد
ذا كانت التكلفه الكليه لرحله مدرسيه (ص) جنيها تدفع منها المدرسه جزءا ثابتا عباره عن 200 جنيه والجزء الاخر من التكلفه الكليه يتوقف على عدد التلاميذ (ن) فاذا كان عدد التلاميذ 20 تلميذا فان التكلفه الكليه تكون 600 تلميذ وكانت العلاقه بين التكلفه الكليه (ص) وعدد التلاميذ (ن) هى علاقه خطيه
(1) اكتب العلاقه بين ص , ن
(2) اوجد التكلفه الكليه للرحلهاذا كان عدد التلاميذ 30 تلميذا
الحـــل
ص = 200 + م ن
600 = 200 + 20ن
600-200 = 20ن
400 = 20ن (÷20)
ن = 20
ص = 200 + 20 ن ......>(1)
وعندما ن = 30
ص = 200 + 20(30)
ص = 200 + 600
ص = 800 جنيه ......>(2)
إذا كانت أ تنتمى إلى محور السينات بحيث و أ = 3 وحدات
، ب تنتمى إلى محور الصادات بحيث و ب = 3جذر3 وحدة
ورسمت دائرة م تمر بالنقاط أ ، ب ، و
حيث و نقطة الأصل
فاحسب طول القوس أ و
الحل
اولا م و=نق =جزر 3جزر 3/2)2+(1.5)2 حيث م مركز الدائره
=جزر 9
اذن نق=3
وبما ان ا و=و م= م ا
اذن ق القوس ا ب =60 درجه
اذن طول القوس ا و=60/360*2*3.14*3
=3.14 وحدة طول
ادا كانت س=الفتره المغلقه (-2 , 3) اوجد المنطقه التى تمثل س فى س.... وبين اى من النقاط التاليه تنتمى الى الحاصل الضرب الديكارتى س فى س...ا_ (1, 2 ) ب_(3, -1 ) ج(-1, 4) د_(-2, 0) ...
الحل
واضح أن النقطة الوحيدة التى لاتنتمى إلى حاصل الضرب الديكارتى س × س هى ج(-1 ، 4)
س ص قطر فى الدائرة م ، أ ب وتر عمودى على س ص
اثبت أن :
س ، ص منتصفا القوسين الأصغر والأكبر التى يقسم بها الوتر أ ب الدائرة
الحل
العمل
نرسم ه س مماسا للدائره عند س
وو ص مماسا للدائره عند ص
البرهان
بما ان ه س مماسا للدائره عند س ,م س نصف قطر
اذن ه س عمودي علي م س
ولكن ا ب عمودي علي م س
اذن اب //ه س
اذن طول القوس اس=طول القوس ب س
اذن س منتصف القوس ا ب (1)
و ص مماسا للدائره عند ص ,م ص نصف قطر
اذن و ص عمودي علي ص م
اذن ا ب// و ص
اذن طول القوس ا ص= طول القوس ب ص
اذن ص منتصف القوس ا ب (2)
من 1,2 ينتج ان
س ,ص منتصفا القوس ا ب الاكبر والاصغر
حل اخر
بما ان س ص قطر في الدائره عمودي علي ا ب
اذن س ص محور تماثل ا ب
(اي نقطه علي محور تماثل القطعه المستقيمه تكون علي بعدين متساويين من طرفيها)
اذن س ا = س ب
اذن ق القوس ا س= ق القوس س ب
اذن س منتصف القوس ا ب (1)
وبالمثل ا ص = ب ص
اذن ق القوس ا ص =ق القوس ب ص
اذن ص منتصف القوس ا ب (2)
من (1,2) ينتج ان
(س) و (ص) منتصفا القوس اب الاصغر والاكبر
أ ب ج مثلث مرسوم داخل دائرة ، فيه أ ب = أ ج = 5 سم ، ب ج = 6سم
أوجد مساحة هذه الدائرة .
الحل
بما ان ق (<اه ب)=90
اذن (م ب)2=(م ه)2 +(ب ه)2
(ا م)2 =(ا ه -م ه)2
ولكن م ب= م ا=نق
اذن ( ه م)2+(ب ه)2 =(ا ه -م ه)2
ه م)2+(ب ه)2=16-8ه م +(ه م)2 بطرح (ه م)2 من الطرفين
9-16=-8ه م (/-8)
ه م=7/8
اذن م ا=4-7/8=25/8=3.125
اذن مساحة الدائره=3.125*3.125*3.14=30.66 سم2
عدد مكون من رقمين رقم احاده ضعف رقم عشراته فاذا كان حاصل ضرب الرقمين يساوى نصف العدد الاصلى فما هو العدد ؟
نفرض أن رقم الآحاد = س ورقم العشرات = ص
س = 2ص ....>(1)
العدد الأصلى = س + 10ص
س ص = 1/2(س + 10ص) ....>(2)
وبالتعويض من (1) فى (2) :
2ص2 = 1/2( 2ص + 10ص)
2ص2 = 1/2 × 12ص
2ص2 = 6ص
2ص2 - 6ص = 0
2ص( ص - 3) = 0
2ص=0 :::> ص = 0 ( مرفوض )
ص - 3 = 0 ::::> ص = 3 ومنها س = 6
إذا كان ق(<أ م ب) المركزية = ثلث ق(<أ م ب) المركزية المنعكسة
وكان طول قطر الدائرة م = 14 سم فأوجد طول القوس أ ب الأكبر
الحل
دائرتان م ، ن متقاطعتان فى أ ، ب وتمر كل منهما بمركز الأخرى
فإذا كان أ ب= 8 سم فأوجد مساحة الشكل أم ب ن .
بما ان الدائرتان متقاطعتان وتمر كلا منهما بمركز الاخري
اذن الدائرتان متطابقتان
بما ان م ن خط المركزين,ا ب وتر مشترك
اذن م ن عمودي علي ا ب وينصفه
اذن ا ج = 4سم حيث ج منتصف ا ب
بما ان ا م =ا ن = نق
اذن ا ب محور تماثل م ن
اذن م ج = ن ج
اذن (ا ج)2 =(ام)2-(م ج)2
16= نق2 -1/4 نق2
16= 3/4 نق2 (باخذ الجزر التربيعي الموجب للطرفين)
4=جزر 3 /2 نق (* 2/جزر3)
8/جزر 3= نق * جزر 3\جزر 3)
نق = 8جزر 3/3
بما ان ام =ا ن =م ب =ن ب
ا ب عمودي علي م ن
ا ب =\=م ن
اذن الشكل ا م ب ن معين
مساحة المعين =1/2 *ا ب * م ن
=1/2 * 8 *8جزر 3 / 3
=32 جزر 3 /3 سم2
العمل
نصل م ب
البرهان
بما ان ب ج مماس للدائره عند ب ,م ب نصف قطر
اذن ق (<م ب ج)=90 ْ
بما ان ق (<م ب ج)+ق(< ب ج ا)=180 وهما في وضع تكامل
اذن م ب // ا ج و ا ب قاطع لهما
اذن ق (<م ب أ) =ق(<ب أ ج) بالتبادل
بما ان م أ =م ب = نق
اذن ق(<م أ ب)=ق(<م ب أ)
ولكن ق(<م ب أ) =ق(<ب أ ج)
اذن ق(<م أ ب)=ق(<ب أ ج)
اذن ا ب ينصف (<م أ ج)
حل اخر
بما ان (<ا ب د) خارجه عن المثلث أ ب ج
اذن ق (<أ ب د)=ق(< أ ج ب ) +ق(<ب أ ج) 1
بما ان ب ج مماس للدائره عند ب ,م ب نصف قطر
اذن م ب عمودي علي ب ج
اذن ق(<م ب د)= 90ْ = ق (<ا ج ب) 2
بطرح 2 من 1
اذن ق (م ب أ)= ق(<ب أ ج) 3
بما ان م ب = م أ = نق
اذن ق (<م أ ب)= ق (<م ب أ) 4
من 3 ,4 ينتج ان
ق(<م أ ب)= (<ج أ ب)
اذن ا ب ينصف (<م أ ج)
حل ثالث
بما أن جـ ب مماس للدائرة ، م ب نصف قطر
إذاً ق(<م د ب) = 90 درجة
إذاً <1 تتمم <2 ولكن <2 تتمم <3
إذاً ق(1)= ق(<3) ولكن ق(<1) = ق(<4)
إذاً ق(<3) = ق(<4)
إذاً أ ب ينصف < م أ ج
الحل
البرهان
بما ان ج د //ا ب
اذن ق القوس ا س = ق القوس ب س
اذن اس = ب س
بما س ص عمودي علي ا ب
اذن ص منتصف ا ب
اذن المستقيم س ع يمر بمركز الدائره
اذن س ع قطر في الدائره
ق القوس س ا ع =ق القوس س ب ع
ولكن ق القوس س ا = ق القوس س ب
بالطرح ينتج ان
ق القوس ا ع = ق القوس ب ع
اذن ع منتصف القوس ا ب الاكبر
موضوع: المسائل الصعبة فى الجبر والهندسة وإجابات نموذجية عليها للصف الثالث الاعدادى الفصل الدراسى الثانى 
!!تنبيه !!